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** Centrales MP
Centrale MP 2003
On considère les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) définies par : \(a_n = \dfrac{\cos(n\pi /3)}{n^{1/3}}\), \(b_n = \sin(a_n)\).
Déterminer les rayons de convergence des séries \(\sum a_nx^n\) et \(\sum b_nx^n\).
Déterminer la nature de \(\sum a_nx^n\) et \(\sum b_nx^n\) en fonction de \(x\).
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[ID: 3549] [Date de publication: 13 mars 2024 22:06] [Catégorie(s): Calculs de rayon de convergence ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Centrale MP 2003
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:06
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:06
\((a_n)\) est bornée et \((na_n)\) ne l’est pas, donc \(R_a = 1\). \(|b_n|\sim|a_n|\) donc \(R_b=1\).
Il y a doute seulement pour \(x=\pm 1\). Le critère de convergence d’Abel (hors programme) s’applique, \(\sum a_nx^n\) converge si \(x=\pm 1\). \(b_n = a_n -\frac16a_n^3 + O(n^{-5/3})\) et le critère d’Abel s’applique aussi à \(\sum a_n^3\) (linéariser le \(\cos^3\)). Par contre il y a divergence pour \(x=-1\). Résolution conforme au programme : regrouper par paquets de six termes.
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