Rayon de convergence \(R\) de la série entière \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{x^n }{\sum_{k=1}^n k^{-\alpha }}\) et étude pour \(x=\pm R\).


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[ID: 3547] [Date de publication: 13 mars 2024 22:06] [Catégorie(s): Calculs de rayon de convergence ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Ensi MP 2003
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:06

\(\sum_{k=1}^n k^{-\alpha }\sim\begin{cases} \dfrac{n^{1-\alpha }}{1-\alpha } &\text{si $\alpha <1$,}\\ \ln(n) &\text{si $\alpha =1$,}\\ \zeta (\alpha ) &\text{si $\alpha >1$.}\\\end{cases}\) Dans les trois cas, on obtient \(R=1\).

Il y convergence en \(x=1\) si et seulement si \(\alpha <0\) et il y a divergence grossière en \(x=-1\) lorsque \(\alpha >1\) vu les équivalents. Pour \(\alpha \leq 1\) et \(x=-1\) il y a convergence (CSA).


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