Trouver le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nz^n\) :

  1. \(a_n \to _{n\to \infty }l \neq 0\).

  2. \((a_n)\) est périodique non nulle.

  3. \(a_n = \sum_{d|n} d^2\).

  4. \(a_n = n^n /n!\).

  5. \(a_{2n} = a^n\), \(a_{2n+1} = b^n\), \(0<a<b\).

  6. \(a_{n^2 } = n!\), \(a_k = 0\) si \(\sqrt k\not\in \mathbb{N}\).

  7. \(a_n = (\ln n)^{-\ln n}\).

  8. \(a_n = e^{\sqrt n}\).

  9. \(a_n = \dfrac{1.4.7\dots(3n-2)}{n!}\).

  10. \(a_n = \dfrac1{\sqrt n^{\sqrt n}}\).

  11. \(a_n = \left(1+\dfrac12+\dots+\dfrac1n\right)^{\ln n}\).

  12. \(a_{n+2} = 2a_{n+1} + a_n\),

    \(a_0=a_1=1\).

  13. \(a_n = \binom{kn}{n}\).

  14. \(a_n = e^{(n+1)^2 } - e^{(n-1)^2 }\).

  15. \(a_n = \int _{t=0}^1 (1+t^2 )^n \,d t\).

  16. \(a_n=\root n\of n-\root{n+1}\of{n+1}\).

  17. \(a_n=\dfrac{\cos n\theta }{\sqrt n+(-1)^n }\).

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[ID: 3542] [Date de publication: 13 mars 2024 22:06] [Catégorie(s): Calculs de rayon de convergence ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Calculs de rayons
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:06

  1. \(R=1\).

  2. \(R=1\).

  3. \(R=1\).

  4. \(R=\frac1e\).

  5. \(R=1/\sqrt b\).

  6. \(R=1\).

  7. \(R=1\).

  8. \(R=1\).

  9. \(R=\frac13\).

  10. \(R=1\).

  11. \(R=1\).

  12. \(R=\sqrt 2-1\).

  13. \(R=\dfrac{(k-1)^{k-1}}{k^k}\).

  14. \(R=0\).

  15. \(R=\frac12\), \(2t\leq 1+t^2 \leq 2\).

  16. \(R=1\), \(a_n\sim(\ln n)/n^2\).

  17. \(R=1\).

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