Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. En donner une démonstration ou un contre-exemple.

  1. Les séries \(\sum a_nz^n\) et \(\sum(-1)^n a_nz^n\) ont même rayon de convergence.

  2. Les séries \(\sum a_nz^n\) et \(\sum(-1)^n a_nz^n\) ont même domaine de convergence.

  3. Si la série \(\sum a_nz^n\) a un rayon de convergence infini, alors elle converge uniformément sur \(\mathbb{R}\).

  4. Si \(\sum a_nx^n\) a un rayon de convergence fini \(R > 0\), alors sa somme admet une limite infinie en \((-R)_{+}\) ou en \(R^-\).

  5. Si \(f(x) = \sum a_nx^n\) a un rayon de convergence infini et si les \(a_n\) sont strictement positifs, alors pour tout entier \(p\), \(\dfrac{f(x)}{x^p} \to _{x\to +\infty }+\infty\).


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[ID: 3541] [Date de publication: 13 mars 2024 22:06] [Catégorie(s): Calculs de rayon de convergence ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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