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Théorème de Wedderburn
On dit qu’un anneau \(A\) est un anneau à division si \(A^*=A\setminus \{ 0\}\). L’objet de l’exercice est de démontrer le théorème de Wedderburn : tout anneau à division fini est commutatif (c’est donc un corps fini).
Polynômes cyclotomiques
Pour \(n\in \mathbb{N}^*\), soit \(\mathcal P _n\) l’ensemble des racines primitives \(n\)-èmes de l’unité dans \(\mathbb{C}\) et \(\Phi_n(X)=\prod _{\zeta \in \mathcal P _n}(X-\zeta )\) (\(\mathcal P _{1}=\{ 1\}\), \(\Phi_{1}(X)=X-1\))
Démontrer : \(X^n -1 = \prod _{d|n} \Phi_d(X)\). En déduire que \(\Phi_n\in \mathbb{Z}[X]\).
Montrer que si \(m\) divise \(n\) et \(m<n\) alors \(\Phi_n(X)\) divise \((X^n -1)/(X^m-1)\) dans \(\mathbb{Z}[X]\).
Justifier : \(\forall p\in \mathbb{N}^*\), \(|\Phi_n(p)|\geq (p-1)^{\mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal P _n)}\) avec égalité si et seulement si \(n=1\).
Cardinal d’un anneau à division
Soient \(A\) un anneau fini à division et \(B\) un sous-anneau de \(A\). On note \(\alpha ,\beta\) les cardinaux de \(A,B\).
Montrer que \(B\) est aussi un anneau à division.
Pour \(x\in A\), on note \(Bx=\{ bx \text{ tq }b\in B\}\) et on considère une famille \((x_{1},\dots,x_n)\) de cardinal minimal telle que \(A=Bx_{1}+\dots+Bx_n\). Justifier l’existence d’une telle famille et montrer que l’application \[\Phi : Bx_{1}\times \dots\times Bx_n \rightarrow A, (y_{1},\dots,y_n) \mapsto y_{1}+\dots+y_n\] est une bijection.
En déduire que \(\alpha\) est une puissance de \(\beta\).
Théorème de Wedderburn
Soit \(A\) un anneau à division, \(B\) son centre et \(\alpha ,\beta\) les cardinaux de \(A,B\). Pour \(a\in A^*\), on note \(\mathcal C _a\) le commutant de \(a\) et \(\mathcal O _a=\{ xax^{-1} \text{ tq }x\in A^*\}\).
Montrer que \(\mathcal C _a\) est un anneau à division et qu’il existe des entiers \(m,n\) tels que : \(\alpha =\beta ^n\), \(\mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal C _a)=\beta ^m\) et \(m\) divise \(n\).
Montrer que \(\mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal O _a)=\mathop{\rm card}\nolimits(A^*)/\mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal C _a^*)\). En déduire que si \(a\not\in B\) alors \(\Phi_n(\beta )\) divise \(\mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal O _a)\).
Pour \(a,b\in A\), montrer que \(\mathcal O _a\) et \(\mathcal O _b\) sont soit disjoints, soit égaux. En déduire qu’il existe une partition de \(A^*\) de la forme \(A^*=\mathcal O _{a_{1}}\sqcup \dots\sqcup \mathcal O _{a_k}\).
Montrer que \(\Phi_n(\beta )\) divise \(\mathop{\rm card}\nolimits(B^*)=\beta -1\) puis que \(n=1\) (et donc \(A=B\), ce qui prouve la commutativité de \(A\)).
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[ID: 3458] [Date de publication: 12 mars 2024 09:19] [Catégorie(s): Corps ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
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