Soit \(\mathbb{K}\) un corps fini de cardinal \(n\). Si \(a,b\in \mathbb{N}\) sont tels que \(ab = n-1\), on considère l’application \[f_a : \mathbb{K}^* \rightarrow \mathbb{K}^*, x \mapsto x^a\] (remarquer que \(f_a\) est un morphisme de groupe). On note \(N_a = \mathop{\rm card}\nolimits(\mathop{\rm Ker}\nolimits f_a)\).

  1. Expliquer pourquoi \(N_a \leq a\).

  2. Montrer que \(\mathop{\rm Im}\nolimits(f_a) \subset \mathop{\rm Ker}\nolimits f_b\). En déduire que \(N_a = a\) et \(N_b=b\).

  3. Soit \(\varphi\) l’indicateur d’Euler. Montrer par récurrence sur \(a\), diviseur de \(n-1\), que le nombre d’éléments de \(\mathbb{K}^*\) d’ordre \(a\) est égal à \(\varphi (a)\) (ceci prouve que \(\mathbb{K}^*\) est cyclique).

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[ID: 3457] [Date de publication: 12 mars 2024 09:19] [Catégorie(s): Corps ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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