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Groupe multiplicatif d’un corps fini
Soit \(\mathbb{K}\) un corps fini. Pour \(x\in \mathbb{K}^*\) on note \(O(x)\) l’ordre multiplicatif de \(x\) et \(n\) le ppcm des ordres des éléments de \(\mathbb{K}^*\).
Soient \(a,b\in \mathbb{N}^*\). Montrer qu’il existe \(a',b'\in \mathbb{N}^*\) tels que \(a'|a\), \(b'|b\), \(a'\wedge b' = 1\) et \(a'b' = a\vee b\).
Soient \(x,y\in \mathbb{K}^*\) d’ordres \(a\) et \(b\). Montrer qu’il existe \(u,v\) entiers tels que \(O(x^uy^v) = a\vee b\). En déduire qu’il existe \(z\in \mathbb{K}^*\) d’ordre \(n\).
Montrer que \(n=\mathop{\rm card}\nolimits(\mathbb{K}^*)\) (ceci prouve que \(\mathbb{K}^*\) est cyclique).
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[ID: 3456] [Date de publication: 12 mars 2024 09:19] [Catégorie(s): Corps ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
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