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Fonctions trigonométriques
Soit \(A = \{ f\ :\ \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) de la forme \(f(x) = a_0 + \sum_{k=1}^n a_k\cos(kx),\ n\in \mathbb{N},\ a_i\in \mathbb{R}\}\).
Montrer que \(A\) est un sous-anneau de \(\mathbb{R}^\mathbb{R}\).
Soit \(f\in A\). Calculer \(\int _{t=0}^{2\pi } f(t)\cos(nt)\,d t\) en fonction des \(a_k\).
En déduire que \(A\) est intègre.
Soit \(\Phi : \mathbb{R}[X] \rightarrow A, P \mapsto x\mapsto P(\cos x).\) Montrer que \(\Phi\) est un isomorphisme d’anneaux. En déduire que \(A\) est principal.
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[ID: 3442] [Date de publication: 12 mars 2024 08:30] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Fonctions trigonométriques
Par Michel Quercia le 12 mars 2024 08:30
Par Michel Quercia le 12 mars 2024 08:30
\(\pi a_n\).
Si \(f(x)=\sum_{k=0}^n a_k\cos(kx)\) et \(g(x)=\sum_{k=0}^p b_k\cos(kx)\) avec \(a_n\neq 0\) et \(b_p\neq 0\) alors,
\(2\int _{t=0}^{2\pi } f(t)g(t)\cos(nt)\,d t=\pi a_nb_p\neq 0\) donc \(fg\neq 0\).
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