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Idéaux de \(\mathbb{K}^E\)
Soit \(\mathbb{K}\) un corps, \(E\) un ensemble fini, et \(A = K^E\). Pour \(e\in E\), on pose : \[I_e = \{ f\in A \text{ tq }f(e)=0\} ,\qquad \chi_e\ :\ x \mapsto \begin{cases} 1 &\text{ si }x=e\\ 0 &\text{ si }x\neq e.\end{cases}\]
Montrer que \(I_e\) est un idéal monogène de \(A\).
Soit \(f\in A\). Vérifier que \(f = \sum_{e\in E} f(e)\chi_e\).
Soit \(I\) un idéal quelconque de \(A\), et \(F = \{ e\in E \text{ tq }\exists f\in I \text{ tq }f(e)\neq 0\}\). Montrer que \(I\) est un idéal monogène engendré par \(\sum_{e\in F}\chi_e\).
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[ID: 3441] [Date de publication: 12 mars 2024 08:30] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
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