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Étude de l’anneau \(\mathbb{Z}^2\)
Soit \(d\in \mathbb{N}\). On pose \(A_d = \{ (x,y)\in \mathbb{Z}^2 \text{ tq }x\equiv y\pmod d\}\) (\(x=y\) pour \(d=0\)). Montrer que \(A_d\) est un sous-anneau de \(\mathbb{Z}^2\).
Montrer que l’on obtient ainsi tous les sous-anneaux de \(\mathbb{Z}^2\).
Soit \(I\) un idéal de \(\mathbb{Z}^2\). On note : \(I_{1} = \{ x\in \mathbb{Z}\text{ tq }(x,0) \in I\}\) et \(I_{2} = \{ y\in \mathbb{Z}\text{ tq }(0,y) \in I\}\). Montrer que \(I_{1}\) et \(I_{2}\) sont des idéaux de \(\mathbb{Z}\), et que \(I = I_{1} \times I_{2}\).
En déduire que \(I\) est un idéal monogène.
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[ID: 3440] [Date de publication: 12 mars 2024 08:30] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
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