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Anneau de caractéristique 2
Soit \(A\) un anneau non nul tel que : \(\forall x\in A\), \(x^2 =x\).
Exemple d’un tel anneau ?
Quels sont les éléments inversibles de \(A\) ?
Montrer que : \(\forall x\in A,\ x+x = 0\). En déduire que \(A\) est commutatif.
Pour \(x,y\in A\) on pose : \(x\leq y \Leftrightarrow \exists a\in A \text{ tq }x=ay\). Montrer que c’est une relation d’ordre.
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[ID: 3431] [Date de publication: 12 mars 2024 08:30] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Anneau de caractéristique 2
Par Michel Quercia le 12 mars 2024 08:30
Par Michel Quercia le 12 mars 2024 08:30
Quels sont les éléments inversibles de \(A\) ? 1.
\(x+y = (x+y)^2 = x^2 +y^2 +xy+yx = x+y+xy+yx \Rightarrow xy+yx = 0\).
Pour \(y=1\) : \(x+x=0 \Rightarrow 1=-1\).
Pour \(y\) quelconque : \(xy = -yx = yx\).
Antisymétrie : si \(x = ay\), alors \(xy = ay^2 = ay = x\). Donc \((x\leq y)\) et \((y\leq x) \Rightarrow xy = x = y\).
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