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Idéaux premiers
Un idéal \(I\) d’un anneau \(A\) est dit premier si : \(\forall x,y\in A\), \(xy\in I \Rightarrow x\in I\) ou \(y\in I\).
Quels sont les idéaux premiers de \(\mathbb{Z}\) ?
Montrer que si \(A\) est commutatif non nul et si tous les idéaux de \(A\) sont premiers alors \(A\) est un corps.
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[ID: 3427] [Date de publication: 12 mars 2024 08:30] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Idéaux premiers
Par Michel Quercia le 12 mars 2024 08:30
Par Michel Quercia le 12 mars 2024 08:30
\(A\) est intègre car \(\{ 0\}\) est premier et si \(a\in A\setminus \{ 0\}\) alors \(a\times a \in (a^2 )\) qui est premier donc \(a^2\) divise \(a\) d’où \(a\) est inversible.
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