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[ID: 3351] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

Solution(s)

Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt 7\right]\)
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00

1. On considère l’image \(G\) de \(H\) par le logarithme. On vérifie que \(G\) est un sous-groupe de \((\mathbb{R},+)\).

   • Supposons que \(G\) soit de la forme \(m\mathbb{Z}, m\in\mathbb{R}_+\). En posant \(a = e^m\), on a bien \(H = \left\lbrace a^n, n\in\mathbb Z\right\rbrace\).

   • Sinon \(G\) est dense dans \(\mathbb{R}\). Soit \(0<\alpha<\beta\), on peut donc trouver un élément \(x\) de \(G\) dans \(]\ln a,\ln b[\) et \(e^x\) appartient à la fois à \(H\) et à \(]\alpha,\beta[\).

2. 1. Supposons \(a+b\sqrt7 = a'+b'\sqrt7\) soit \(a-a' = (b'-b)\sqrt7\). On a \(b'-b=0\) sinon on aurait \(\sqrt7 = \dfrac{a-a'}{b'-b}\in\mathbb{Q}\) ce qui est impossible. On en déduit \(a-a'=0\) ce qu’il fallait démontrer.

   2. • \(\mathcal A\) est stable pour la soustraction : \(a+b\sqrt7 - (a'+b'\sqrt7) = (a-a') + (b-b')\sqrt7 \in\mathcal A\).

      • \(\mathcal A\) est stable pour la multiplication : \((a+b\sqrt7) \times (a'+b'\sqrt7) = (aa'+7bb') + (ab'+ba')\sqrt7\).

      • l’élément unité \(1\) de \((\mathbb{R},+,\times)\) appartient bien à \(\mathcal A\) : \(1 = 1 + 0\sqrt7\).

      Donc \(\mathcal A\) est un sous-anneau de \((\mathbb R, +,\times)\).

   3. On a \(1\in U(\mathcal A)\). Si \(x,y\in U(\mathcal A)\), on a \(y^{-1}\in U(\mathcal A)\) et par suite \(xy^{-1}\in U(\mathcal A)\).

3. 1. Lorsqu’on écrit \(x = a+b\sqrt7\), les entiers \(a\) et \(b\) sont uniques. Par suite \(\overline x\) et \(N(x)\) sont définis.

   2. Soit \((x,y)\in\mathcal A^2\). On pose \(x = a+b\sqrt7\), \(y = a'-b'\sqrt7\), on a \(xy = (aa'+7bb') + (ab'+ba')\sqrt7\), \(\overline {xy} = (aa'+7bb') - (ab'+ba')\sqrt7\). Ensuite \(\overline x \overline y = (aa'+7(-b)(-b')) + (a(-b')-ba')\sqrt7 = \overline {xy}\). Puis \(N(xy) = xy\overline {xy} = xy\overline x \overline y= N(x)N(y)\).

   3. Si \(N(x) = 1\), alors \(x\overline x = 1\) et donc \(\overline x\in U(\mathcal A\) est bien l’inverse de \(x\) dans \(\mathcal A\).

      Réciproquement, si \(x\) est inversible dans \(\mathcal A\), il existe \(y\) dans \(\mathcal A\) tel que \(xy = 1\). Donc \(N(x)N(y) = N(1) = 1\). Donc \(N(x)\) et \(N(y)\) sont des entiers dont le produit vaut \(1\), ils sont donc égaux à \(1\) ou \(-1\). Comme l’équation \(N(x) = -1\) n’admet pas de solution, c’est que \(N(x) = 1\). Ce qu’il fallait démontrer.

4. 1. En effet, en posant \(x = a + b\sqrt7\), on a \(\dfrac1x = a - b\sqrt7\), \(-x = -a - b\sqrt7\) et \(-\dfrac1x = -a + b\sqrt7\). Parmi ces quatre nombre, le plus grand appartient à \([1,+\infty[\), son inverse à \(]0,1]\), son opposé, à \(]-\infty,-1]\) et l’inverse de son opposé à \([ -1,0[\). Comme le plus grand des quatre a ses deux coefficients positifs, la proposition en résulte.

   2. On a \(8^2 - 7\times 3^2 = 1\), donc \(8+3\sqrt7 \in U(\mathcal A)\).

   3. Tous les éléments de \(U(\mathcal A)\) plus grands que \(1\) ont des coefficients \(a\) et \(b\) positifs. On regarde donc les valeurs de \(b\in\mathbb{N}^*\) pour lesquelles \(a^2-7b^2=1\). Les solutions \(b=1\) ou \(b=2\) ne conviennent pas, donc on a \(b\geqslant3\). Comme \(a\geqslant0\), on en déduit que \(a+b\sqrt7\geqslant3\sqrt7\). C’est bien dire qu’il n’y a pas d’élément de \(U(\mathcal A)\) dans \(\left] 1,3\sqrt7\right[\).

   4. La question précédente montre que \(U(\mathcal A) \cap \mathbb{R}_+^*\) n’est pas dense, puisqu’il évite \(\left] 1,3\sqrt7\right[\). Donc il est de la forme \(\left\lbrace u^n \mid n\in\mathbb Z \right\rbrace\). En rajoutant les opposés, on obtient le résultat.

5. 1. Comme \(u>1\), on a \(a_1\geqslant 1\) et \(b_1\geqslant 1\). Comme \(u^{n+1}=(a_1+b_1\sqrt7)(a_n+b_n\sqrt7)\) on en déduit \[a_{n+1} = a_na_1+7b_nb_1>a_n,\qquad \textrm{ et }\qquad b_{n+1} = a_nb_1+b_na_1>b_n.\] D’où le résultat.

   2. L’image de la suite \(u^n\) est \(U(\mathcal A)\cap[1,+\infty[\) tout entier, donc \(u_1 = u\) est la plus petite valeur de \(U(\mathcal A)\cap]1,+\infty[\), à savoir \(8+3\sqrt7\).

   3. D’après ce qui précède ce sont les \((a_k,b_k)\) fournis par les \(u^k\) pour \(k=1,2\) et \(3\). Soit \((8,3)\), \((127,48)\), \((2034,765)\), \((32257,12192)\).

6. 1. On a \(\alpha_{n+1}+\beta_{n+1}\sqrt7 = \left( \alpha_{n}+\beta_{n}\sqrt7\right)^2\). On en déduit \(\alpha_{n+1} = \alpha_{n}^2+7\beta_{n}^2\) et \(\beta_{n+1} = 2\alpha_{n}\beta_{n}\).

   2. Comme on a \(\forall n\in\mathbb{N}, \alpha_{n}^2-7\beta_{n}^2 = 1\), en divisant par \(\beta_{n}^2\) on a \[\dfrac{\alpha_{n}^2}{\beta_{n}^2} - 7 = \dfrac{1}{\beta_{n}^2}.\] La suite \((\beta_{n})_{n\in\mathbb N}\) est une suite d’entiers strictement croissante, qui tend donc vers \(+\infty\). Donc \(\dfrac{\alpha_{n}^2}{\beta_{n}^2}\) tend vers \(7\) et par suite \(\lambda = \sqrt7\).

   3. Démontrer que \(\forall n\in\mathbb N\), \[\varepsilon_n = \left\vert \dfrac{\alpha_n}{\beta_n} - \lambda \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt7\,\beta_n^2}.\]

   4. On a \(\forall n\in \mathbb{N}, \alpha_{n}^2 = 7\beta_n^2+1 > 7\beta_n^2\). Donc \(\dfrac{\alpha_{n}}{\beta_n}+\sqrt{7}>2\sqrt{7}\).

      On en déduit \(\left\vert \dfrac{\alpha_{n}}{\beta_n}-\sqrt{7} \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{7}}\,\dfrac{1}{\beta_n^2}\).

      Pour \(n=1\), on a \(\beta_{1} = b_2 = \sqrt{48}^{2^1}\) et \(\alpha_{1} = a_2 = 127 \geqslant \sqrt{48}^{2^1}\). On montre par récurrence que pour \(n\geqslant1, \alpha_{n}\geqslant\sqrt{48}^{2^n}\) et \(\beta_{n}\geqslant\sqrt{48}^{2^n}\). On a alors \(\alpha_{n+1} = \alpha_{n}^2+7\beta_{n}^2 \geqslant\sqrt{48}^{2^{n+1}}+7\sqrt{48}^{2^{n+1}}\geqslant\sqrt{48}^{2^{n+1}}\) et \(\beta_{n+1} =2\alpha_{n}\beta_{n} \geqslant2\sqrt{48}^{2^{n}}\sqrt{48}^{2^{n}}\geqslant\sqrt{48}^{2^{n+1}}\), ce qu’il fallait vérifier.

      Finalement, pour \(n\geqslant1\), \[\left\vert \dfrac{\alpha_{n}}{\beta_n}-\sqrt{7} \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{7}}\,\dfrac{1}{{48}^{2^{n+1}}}\]

   5. On cherche à avoir \(2\sqrt{7}{48}^{2^{n}}\geqslant 10^{20}\). En prenant les logarithmes décimaux, cela revient à \(\log_{10}(2\sqrt{7})+ 2^{n}\log_{10}(48) \geqslant 20\). On calcule \(\dfrac{20-\log_{10}(2\sqrt{7})}{\log_{10}(48)} < 11,5\), donc il suffit d’avoir \(2^n > 11,5\), par exemple \(n=4\). \[\begin{array}{|r|r|r|} \hline n & \alpha_n & \beta_n \\ \hline 0 & 8 & 3 \\ \hline 1 & 127&48\\ \hline 2&32257&12192\\ \hline 3&2081028097& 786554688\\ \hline 4&8661355881006882817&3273684811110137472\\ \hline \end{array}\] Donc \(\sqrt{7} = \dfrac{8661355881006882817}{327368481111013747}\) à \(10^{-20}\) près.