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[ID: 3349] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 1553
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00

1. Soit \(z \geqslant 0\). Écrivons \(f(z) = f(\sqrt{z}\sqrt{z}) = f(\sqrt{z})^2 \geqslant 0\). Soit alors \((x, y) \in \mathbb{R}^{2}\) tels que \(x \leqslant y\). Calculons \(f(y-x) = f(y) - f(x) \geqslant 0\). Donc l’application \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).

2. En utilisant que \(f\) est un morphisme de groupe (classique) et que \(f(1) = 1\), on montre que \(\forall r \in \mathbb{R}\), \(f(r) = r\).

3. Utilisons la densité de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{R}\) : \[\forall \varepsilon> 0,~ \exists (r, q) \in \mathbb{Q}^{2}~:~ x-\varepsilon< r < x < q < x + \varepsilon\] Pour \(\varepsilon= 1\), il existe \((r_1, q_1) \in \mathbb{Q}^{2}\) tels que \(x-1 \leqslant r_1 < x < q_1 \leqslant x + 1\). Supposons construits les rationnels \(r_1,\dots, r_n\) et \(q_1,\dots, q_n\). Posons \(\varepsilon= \min \bigl(\dfrac{1}{n+1}, q_n - r_n\bigr)> 0\). Il existe alors \((r_{n+1}, q_{n+1})\in \mathbb{Q}^{2}\) tels que \(r_n < r_{n+1} < x < q_{n+1} < q_n\) avec en plus \(x - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+1} \leqslant r_{n+1} < q_{n+1} \leqslant x + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\). On construit ainsi par récurrence deux suites de rationnels, avec la suite \((r_n)\) qui est croissante et la suite \((q_n)\) décroissante. D’après le théorème des gendarmes, puisque \(\forall n \geqslant 1\), \[x - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} \leqslant r_n \leqslant x \leqslant q_n \leqslant x + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\] ces deux suites convergent vers \(x\).

4. Soit \(x \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}^{\star}\). Puisque la fonction \(f\) est croissante, on a \[f(r_n) \leqslant f(x) \leqslant f(q_n)\] or comme \(\forall n \geqslant 1\), \(f(r_n) = r_n\) et \(f(q_n) = q_n\), et que les deux suites convergent vers \(x\), il vient que \(f(r_n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}x\) et \(f(q_n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}x\), et par passage à la limite dans les inégalités, on trouve que \(f(x) = x\). Par conséquent, \(f = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) et réciproquement, \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) est bien un morphisme d’anneau.