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[ID: 3347] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 1552
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00

1. Soit \((x, y) \in A^2\). En utilisant la propriété de l’énoncé avec \(x\) et \((1+y)\), on trouve que \[\begin{aligned} &\quad\quad\, \left[x(1+y)\right]^2 = x^2(1+y)^2 \\ &\Rightarrow x^2 + x^2y + xyx + (xy)^2 = x^2 + 2x^2y + x^2y^2 \\ &\Rightarrow xyx = x^2 y \end{aligned}\] (car \((xy)^2 = x^2y^2\)). De même, en utilisant la propriété avec \(x\) et \((1+y)\) on démontre que \(xyx = x^2y\).

2. Soit \((x, y) \in A^2\). En utilisant la propriété du 1. avec \((1+x)\) et \(y\), on trouve que \[\begin{aligned} &\quad\quad (1+x)^2y = y(1+x)^2 \\ & \Rightarrow y + 2xy + x^2y = y + 2yx + yx^2 \\ & \Rightarrow 2xy = 2yx \end{aligned}\] Ce qui ne suffit pas à conclure que \(xy = yx\) !

   Mais avec la même idée, développons \((1+x)^3y\). Comme \(x^3y = x(x^2y) = x(yx^2) = (xyx)x = (yx^2)x = yx^3\), \[\begin{aligned} &\quad\quad (1+x)^3y = y(1+x)^3 \\ & \Rightarrow y + 3xy + 3x^2y + x^3y = y + 3yx + 3yx^2 + yx^3 \\ & \Rightarrow 3xy = 3yx \end{aligned}\] Donc \(3xy - 2xy = 3yx - 2yx\) et par conséquent, \(xy = yx\).