Soit un anneau \((A, +, \times)\). On dit qu’il est régulier lorsque \[\forall u \in A,~ \exists x \in A ~: u = uxu.\]

  1. Si l’anneau \(A\) est intègre, montrer que \(A\) est régulier si et seulement si \(A\) est un corps.

  2. Si \(A\) est un anneau, on définit son centre \(Z(A)\) par ; \[Z(A) = \{x \in A \mid \forall a \in A,~ ax=xa\}\]

    1. Montrer que \(Z(A)\) est un sous-anneau de \(A\).

    2. On suppose désormais que \(A\) est un anneau régulier. Soit \(u \in Z(A)\) et \(x \in A\) tel que \(u = uxu\). On pose \(y = xux\).

      1. Calculer pour \(a \in A\), \(uxa(1-ux)\) et \((1-ux)aux\) et en déduire que \(ux \in Z(A)\).

      2. Montrer que \(y=xux \in Z(A)\).

      3. Montrer que si \(A\) est un anneau régulier, son centre \(Z(A)\) est également un anneau régulier.

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[ID: 3345] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 1551
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00

  1.  

    1. soit \(u \in A\). Si \(u = 0\), il suffit de prendre \(x = 0\). Si \(u\neq 0\), \(u\) est inversible. Posons alors \(x = u^{-1}\). On a bien \(u = uxu\).

    2. soit \(u \in A\), tel que \(u \neq 0\). Comme \(A\) est régulier, il existe \(x \in A\) tel que \(u = uxu\), c’est-à-dire \(u(1-xu) = 0\). L’anneau étant intègre, il vient que \(xu = 1\). De même, on a \((1-ux)u = 0\) et donc \(ux = 1\). Par conséquent, \(u\) est inversible avec \(u^{-1} = x\).

  2. On vérifie facilement que \(Z(A)\) est stable pour \(+\), \(\times\) et qu’il contient \(0\) et \(1\).

  3. On a \(uxa(1-ux) = xau(1-ux) = xau - xauxu = xau -xau = 0\). De même, \((1-ux)aux = (1-ux)uax = uax -(uxu)x = uax -uax = 0\). Donc \(uxa(1-ux) = (1-ux)aux\) et en développant, \(uxa -uxaux = aux - uxaux\) ce qui donne \((ux)a = a(ux)\). On a donc montré que \((ux) \in Z(A)\).

  4. Soit \(a \in A\). Calculons \((xux)a \underset{u\in Z(A)}{=} (ux)(xa) \underset{ux \in Z(A)}{=} (xa)(ux) \underset{u \in Z(A)}{=} (xu)(ax) \underset{u\in Z(A)}{=} (ux)(ax) \underset{ux \in Z(A)}{=} (ax)(ux) = a(xux)\).

  5. Soit \(u \in Z(A)\). Posons \(y = xux\). On a vu que \(y \in Z(A)\) et alors \(uyu = u(xux)u = (uxu)xu = uxu = u\).

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