Soit \((A, +, \times)\) un anneau. On pose \[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} A & \longrightarrow & A \\ a & \longmapsto & a^2 \end{array} \right.\] Montrer que si \(\varphi\) est un morphisme d’anneaux surjectif, alors \(A\) est commutatif.

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[ID: 3343] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1550
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00

L’application \(\varphi\) est un morphisme d’anneaux donc \(\varphi(a+b) = \varphi(a)+\varphi(b)\) ou encore \((a+b)^2 = a^2+b^2\) soit \(ab+ba=0\) et ce pour tous \(a,b\in A\). On a aussi \(\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)\) soit \((xy)^2 = x^2y^2\) autrement dit \(x^2y^2 = xyxy = x(-xy)y = -x^2y^2 = y^2x^2\). Soit \(a,b\in A\). Comme \(\varphi\) est surjectif, \(\exists x,y\in A, a = \varphi(x)\) et \(b = \varphi(y)\). La dernière égalité s’écrit \(ab = ba\) ce qu’il fallait vérifier.

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