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Exercice 1549
Soit \((A,+,\times)\) un anneau. Soient \((a,b)\in A^2\) tels que \[ab+ba=1 \textrm{ et } a^2b+ba^2=a\]
Montrer que \(a^2b=ba^2\) et que \(aba+aba=a\).
Montrer que \(a\) est inversible et que son inverse est \(b+b\).
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[ID: 3341] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 1549
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00
En multipliant \(ab+ba=1\) à gauche par \(a\) : \(aab+aba=a=aab+baa\) d’où \(aba = baa\). De même en multipliant à droite cette fois : \(aba+baa = a= aab+baa\) d’où \(aba=aab\). On en déduit \(baa = aba = aab\) et donc l’égalité \(a^2b+ba^2=a\) peut s’écrire \(aba+aba=a\).
En multipliant \(a^2b+ba^2=a\) à gauche par \(b\) : \(ab = aabb+baab = (baa)b+baab = b(aab)+b(aab)=b(aba)+b(aba)=b(aba+aba)=ba\). On déduit de \(ab+ba=1\) que \(ab+ab = a(b+b)=1\) et que \(ba+ba=(b+b)a=1\) ce qu’il fallait vérifier.
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