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[ID: 3339] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

Solution(s)

Exercice 1548
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00

1. \(B\) est non-vide puisque \(0_A\in B\).

2. Puisque \(f(1_A^2)=f(1_A)^2\) et que \(f\) est à valeurs dans \(\mathbb{R}_+\), on en déduit que \(f(1_A)=1\).

3. Puisque \(1=f((-1_A)\times (-1_A))=f(-1_A)^2\), on en déduit que \(f(-1_A)=1\).

4. Soient \((x,y)\in B^2\). Puisque \(f(x,y)\leqslant\sup(f(x),f(y))\leqslant 1\), \((x+y)\in B\). Donc \(B\) est stable pour \(+\).

5. Soit \(x\in B\). Puisque \(f(-x)=f(-1_A\times x)=f(x)\), on en déduit que \(x\in B\Rightarrow -x\in B\). On a donc montré que \((B,+)\) était un sous-groupe de \((A,+)\).

6. Soit \((x,y)\in B^2\). Alors \(f(x\times y)=f(x)f(y)\leqslant 1\) et donc \(x\times y\in B\). Donc \(B\) est stable pour \(\times\).

Donc \(B\) est un sous-anneau de \(A\).