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Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt 2\right]\)
On désigne par \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\) l’ensemble \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) muni des deux lois: \[(a,a')+(b,b')=(a+b,a'+b') \quad(a,a')\times (b,b')=(ab+2a'b',ab'+a'b)\]
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[ID: 3337] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt
2\right]\)
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00
La clé de la solution réside dans la notation \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\). Soit \(A = \left\lbrace x\in\mathbb{R},\,\exists (a,b)\in\mathbb{Z}^2, x = a + b\sqrt2 \right\rbrace\). On a l’unicité de la notation \(x = a + b\sqrt2\) pour \(x\in A\) et \((a,b)\in\mathbb{Z}^2\) puisque \(\sqrt2 \notin\mathbb{Q}\). Donc \(\Phi~: x = a + b\sqrt2 \in A \longmapsto (a,b)\in\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\) est une bijection qui vérifie \(\Phi(zz') = \Phi(z)\times\Phi(z')\). Donnons une démonstration indépendante de cette remarque :
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