On désigne par \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\) l’ensemble \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) muni des deux lois: \[(a,a')+(b,b')=(a+b,a'+b') \quad(a,a')\times (b,b')=(ab+2a'b',ab'+a'b)\]

  1. Montrer que \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\) est un anneau commutatif. Quel est l’élément neutre pour \(\times\)?

  2. Soit \(\mathbb{Z}{'}\) l’ensemble des éléments de la forme \((a,0)\). Montrer que \(\mathbb{Z}{'}\) est un sous-anneau de \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\).

  3. On note pour \(a\in \mathbb{Z}\), \((a,0)=a\). Montrer que tout élément de \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\) s’écrit de manière unique sous la forme \(a+a'\times (0,1)\) avec \((a,a')\in \mathbb{Z}^{2}\).

  4. Montrer qu’il existe \(X\in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]\) vérifiant \(X^2=2\) (\(2\) admet une racine carrée).

Voir aussi exercice [Z_racine_sept] p. [Z_racine_sept].

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[ID: 3337] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt 2\right]\)
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00

La clé de la solution réside dans la notation \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\). Soit \(A = \left\lbrace x\in\mathbb{R},\,\exists (a,b)\in\mathbb{Z}^2, x = a + b\sqrt2 \right\rbrace\). On a l’unicité de la notation \(x = a + b\sqrt2\) pour \(x\in A\) et \((a,b)\in\mathbb{Z}^2\) puisque \(\sqrt2 \notin\mathbb{Q}\). Donc \(\Phi~: x = a + b\sqrt2 \in A \longmapsto (a,b)\in\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\) est une bijection qui vérifie \(\Phi(zz') = \Phi(z)\times\Phi(z')\). Donnons une démonstration indépendante de cette remarque :

  1. Vérifions que la loi \(\times\) est associative. Elle est interne, c’est évident, et commutative. On a \(((a,a')\times (b,b'))\times (c,c')=(ab+2a'b',ab'+a'b)\times (c,c') = ((ab+2a'b')c+(ab'+a'b)c' , (ab+2a'b')c'+(ab'+a'b)c ) = (abc + 2a'b'c + 2a'bc'+2ab'c',abc'+ab'c+a'bc + 2a'b'c')\). Sous cette forme on voit bien que la loi \(\times\) est associative. \((1,0)\) est élément neutre pour \(\times\). Distributivité : \(((a,a')+(b,b'))\times (c,c') = (a+b,a'+b')\times (c,c') = ((a+b)c + 2(a'+b')c', (a+b)c'+(a'+b')c) = ((ac+2a'c') + (bc+2b'c') , (ac'+a'c) + (bc'+bc')) = (a,a')\times (c,c')+(b,b')\times (c,c')\).

  2. \(\mathbb{Z}{'}\) est stable pour l’addition, la multiplication et contient l’élément neutre \((1,0)\).

  3. On a \((a,a') = (a,0)+(0,a') = a + (0,a') = a + a'(0,1)\).

  4. La remarque prélimininaire nous incite à considérer \(x_1 = (0,1)\) et \(x_2 = (0,-1)\). Ce sont deux racines de \(X^2=2\).

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