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[ID: 3335] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

Solution(s)

Sous-anneaux et morphismes de \((\mathbb{Z} , + , \times)\)
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00

1. Soit \(A'\) un sous-anneau de \(\mathbb{Z}\). Si \(1\in A'\), montrer par récurrence que \(\forall n\in \mathbb N\), \(n\in A'\). Ensuite que \(A'=\mathbb{Z}\).

2. De même, soit \(f\) un morphisme de \(\mathbb{Z}\). Si \(f(1)=1\), montrer par récurrence que \(\forall n\in \mathbb N\), \(f(n)=n\) puis que \(f=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\).