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Exercice 1544
Soit un anneau \((A, +, \times)\) et deux éléments \(a,b\) de \(A\).
Si \((ab)\) est un élément nilpotent, montrer que \(1-ab\) est inversible et déterminer \((1-ab)^{-1}\).
Si \((ab)\) et \((ba)\) sont nilpotents, exprimer \((1-ba)^{-1}\) en fonction de \((1-ab)^{-1}\).
On ne suppose plus \((ab)\) ni \((ba)\) nilpotents. Montrer que si \(1-ab\) est inversible, alors \(1-ba\) est également inversible.
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[ID: 3331] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 1544
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00
On a \((1-ab)^{-1}=1+ab+abab+\dots + \underbrace{abab\dots ab}_{n-1 \textrm{ facteurs } ab}\) si \(ab\) est nilpotent d’indice \(n\);
On a aussi \((1-ba)^{-1}=1+ba+baba+\dots + \underbrace{baba\dots ba }_{p-1 \textrm{ facteurs } ba}\) si \(ba\) est nilpotent d’indice \(p\). Donc, si \(ab\) est nilpotent d’indice \(n\) et si \(ba\) est nilpotent d’indice \(p\), on peut écrire les formules précédentes pour \(q=\max(n,p)\) : \[(1-ba)^{-1}=1+b(1+ ab+abab+\dots +abab\dots ab)a = 1+b(1-ab)^{-1}a\]
Posons \(c=(1-ab)^{-1}\). Montrons que \((1-ba)\) est inversible et que \(\boxed{ (1-ba)^{-1}=1+bca}\). Pour cela, calculons \[(1-ba)(1+bca)=1-ba+bca-babca = 1+b[-1+(1-ab)c]a=1+b\times 0 \times a = 1\] \[(1+bca)(1-ba)=1-ba+bca-bcaba = 1+b[-1+c(1-ab)]a = 1\]
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