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[ID: 3329] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 1543
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00

1. Si \(a^n = 0\), alors \((1-a)\left( 1 + a + \ldots + a^{n-1}\right) = \left( 1 + a + \ldots + a^{n-1}\right)(1-a) = 1 - a^n = 1\). Donc \(1 + a + \ldots + a^{n-1}\) est l’inverse de \(1-a\).

2. Puisque \(a\) et \(b\) commutent, on a \((ab)^n = a^nb^n\). Si \(a^n = 0\), alors on a \((ab)^n = 0\), ce qu’il fallait vérifier.
   Puisque \(a\) et \(b\) commutent, on peut appliquer la formule du binôme : \((a+b)^p = \displaystyle\sum_{k=0}^p \binom{p}{k} a^k b^{p-k}\). Si \(a^n = 0\) et \(b^m = 0\), alors en prenant \(p = n+m\), pour tout entier \(k\) variant de \(0\) à \(p\), on a \(k \geqslant n\) - auquel cas \(a^k =0\) - ou \(p-k \geqslant m\) - et dans ce cas \(b^{p-k}=0\). Tous les termes \(\dbinom{p}{k} a^k b^{p-k}\) sont donc nuls et \((a+b)^p = 0\), ce qu’il fallait vérifier.

3. Montrer par récurrence que \[\forall x\in A, \quad u^p(x)= \sum_{k=0}^p \dbinom{p}{k} (-1)^k a^{p-k}xa^k.\]

4. Si l’on choisit alors \(p\geqslant 2n-1\), pour \(k\geqslant n\), \(a^{p-k}xa^k=0\), et si \(k\leqslant n-1\), alors \(p-k \geqslant p-n+1 \geqslant n\) et alors on a également \(a^{p-k}xa^k =0\). Finalement, tous les termes de la somme sont nuls, et ceci quel que soit \(x\in A\). Donc \(u^p=0\).