Soit \((A, +, \times)\) un anneau et \[C = \left\{ a \in A~|~ \forall x \in A, xa = ax \right\}\] Montrer que \(C\) est un sous-anneau de \(A\).


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[ID: 3327] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1542
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00

Soient \(a,b\in C\), soit \(x\in A\), on a \(ax = xa\) et \(bx = xb\). On en déduit : \((a+b)x = ax + bx = xa + xb= x(a+b)\) et ce pour tout \(x\in A\). Donc \(a+b\in C\). De même, \((ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = x(ab)\) et ce pour tout \(x\in A\). Donc \(ab\in C\). Comme de plus \(1\in C\), \(C\) est bien un sous-anneau de \(A\).


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