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[ID: 3325] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

Solution(s)

Anneau de Boole
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00

1. Pour tout \(x,y\in A\), on a \(x + y = (x+y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 = x + xy + yx + y\). En soustrayant \(x+y\) aux deux membres, on a bien \(xy + yx = 0\).
   On prend \(y=x\), on obtient \(x^2 + x^2 = 0\) soit \(x + x = 0\), ceci quel que soit \(x\in A\).
   On a \(xy + yx = 0\), d’où en ajoutant \(xy\) à chaque membre, \(xy + xy + yx = xy\) d’où \(0 + yx = xy\) ce qu’il fallait vérifier.

2. Réflexive : On a \(x^2 = x\) donc \(x\curlyeqprec x\).
   Antisymétrique : On suppose \(x \curlyeqprec y\) et \(y \curlyeqprec x\). On a donc \(yx = x\) et \(xy = y\). Comme la multiplication est commutative on en déduit \(x = y\).
   Transitive : On suppose \(x \curlyeqprec y\) et \(y \curlyeqprec z\). On a donc \(yx = x\) et \(zy = y\). On en déduit \(zx = z(yx) = (zy)x = yx = x\), soit \(x \curlyeqprec z\).
   Donc \(\curlyeqprec\) est une relation d’ordre.

3. Soit \(x,y\in A\). On a \(xy(x+y) = x^2y + xy^2 = xy + xy = 0_A\).
   Supposons \(A\) intègre. Soit \(x\) et \(y\) deux éléments non nuls. On a, d’après la question précédente, \(x+y = 0\), donc en additionnant \(x\) à chaque membre, \(x + x + y = x\), et comme \(x+ x = 0_A\), \(y =x\). Il n’y a donc qu’un seul élément non nul au plus. Ce qu’il fallait démontrer.