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Exercice 1540
On définit sur \(\mathbb{Z}^2\) deux lois de composition internes notées \(+\) et \(\star\) et définies, pour tout \(\left(a,b\right),\left(c,d\right)\in \mathbb{Z}^2\), par :
\[\left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(a+c,b+d\right) \quad \textrm{ et} \quad\left(a,b\right)\star \left(c,d\right)=\left(ac,ad+bc\right)\]
Montrer que \(\left(\mathbb{Z}^2,+,\star\right)\) est un anneau commutatif.
Montrer que \(A=\left\{\left(a,0\right)~|~a\in \mathbb{Z}\right\}\) est un sous-anneau de \(\left(\mathbb{Z}^2,+,\star\right)\)
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[ID: 3323] [Date de publication: 18 novembre 2022 16:00] [Catégorie(s): Anneaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 1540
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 16:00
Les deux lois sont internes.
L’addition est commutative, associative, admet \((0,0)\) comme élément neutre et \((a,b)\) admet \((-a,-b)\) comme opposé.
Associativité de la loi \(\star\) : \(((a,b)\star(c,d))\star (f,g) = (ac,ad+bc)\star (f,g) = (acf,acg+(ad+bc)f) = (acf,acg+adf+bcf)\) et \((a,b)\star((c,d)\star (f,g)) = (a,b)\star (cf,cg+df) = (acf,a(cg+df)+bcf) = (acf,acg+adf+bcf)\), ce qu’il fallait vérifier.
La loi \(\star\) est commutative, et admet \((1,0)\) comme élément neutre.
Distributivité : \((a,b)\star((c,d)+(f,g)) = (a,b)\star(c+f,d+g) = (a(c+f),a(d+g)+b(c+f))=(ac+af, (ad+bc)+(ag+bf))= (a,b)\star(c,d) + (a,b)\star(g,f)\), ce qu’il fallait vérifier.
Donc \((\mathbb Z^2,+,\star)\) est un anneau commutatif.
On vérifie facilement que \(A\) est un sous-groupe de \(\left(\mathbb{Z}^2,+\right)\), que \(A\) est stable pour \(\star\) et que \(\left(1,0\right)\in A\).
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