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[ID: 3313] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:48] [Catégorie(s): Morphisme de groupe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 1535
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 15:48

Soit \(f\) un tel morphisme. Soit \(n\in \mathbb{N}^{*}\). On a \[f(1) = f\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} + \dots + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) = n f\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)\] or \(p = f(1) \in \mathbb{Z}\) et \(q_n = f\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) \in\mathbb{Z}\). Donc \[p = nq_n \Rightarrow \lvert p \rvert = n \lvert q_n \rvert\] Cette relation étant vraie \(\forall n \in \mathbb N\), en particulier pour \(n > \lvert p \rvert\), on obtient que \(p =f(1)= 0\) et que \(\forall n \in \mathbb{N}^*\), \(f\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) = 0\).

Alors, si \(x = \dfrac{a}{b} \in \mathbb{Q}^{+}\), avec \(a\in \mathbb N\) et \(b\in \mathbb{N}^{\star}\), \[f(x) = f\left( a{\scriptstyle 1\over\scriptstyle b}\right) = a f\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle b}\right) = 0.\] On en déduit que \(f\) est nulle sur \(\mathbb{Q}_+\), et puisque \(f\) est un morphisme, \(f(-x) = -f(x)\) ce qui montre que \(f\) est également nulle sur \(\mathbb{Q}_{-}\).