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[ID: 3311] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:48] [Catégorie(s): Morphisme de groupe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 1534
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 15:48

1. Puisque \(\varphi\) est un morphisme, on sait que \(\varphi(e) = e'\). Donc \((e, e') = (e, \varphi(e))\in H\). Soient deux éléments \(X\), \(Y\) de \(H\). Il existe \((x, y) \in G^2\) tels que \(X = (x, \varphi(x))\) et \(Y = (y, \varphi(y))\). Comme l’inverse de \((y, \varphi(y))\) est \((y^{-1}, \varphi(y))^{-1}\), \[XY^{-1} = (x, \varphi(x))(y, \varphi(y))^{-1} = (xy^{-1}, \varphi(x)\varphi(y)^{-1}) = (xy^{-1}, \varphi(xy^{-1})) \in H\] On a utilisé la propriété d’un morphisme, \(\varphi(y^{-1}) = \varphi(y)^{-1}\).

2. Soit \((x, y) \in G^2\), montrons que \(\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)\). Puisque \((x, \varphi(x)) \in H\) et que \((y, \varphi(y)) \in H\), comme \(H\) est un sous-groupe de \(G\times G'\), \((x, \varphi(x))(y, \varphi(y)) = (xy, \varphi(x)\varphi(y)) \in H\). Mais alors, par définition de \(H\), il existe \(z \in G\) tel que \(xy = z\) et \(\varphi(z) = \varphi(x)\varphi(y)\). Cela donne \(\varphi(xy) = \varphi(z) = \varphi(x)\varphi(y)\).