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[ID: 3309] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:48] [Catégorie(s): Morphisme de groupe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 1533
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 15:48

L’application \(f\) est bijective (vérification immédiate).

1. Montrons que si \(G\) est commutatif, alors \(f\) est un morphisme. Soient deux éléments \((x,y)\in G^2\). Alors \[f(xy)=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=x^{-1}y^{-1}=f(x)f(y)\]

2. Montrons que si l’application \(f\) est un morphisme de groupes, alors le groupe \(G\) est commutatif. Soient deux éléments \((x,y)\in G^{2}\). Puisque \[f(x^{-1}y^{-1})=f(x^{-1})f(y^{-1}) \Rightarrow (x^{-1}y^{-1})^{-1}=xy \Rightarrow (y^{-1})^{-1}(x^{-1})^{-1}=xy \Rightarrow yx = xy\] et donc la loi est commutative.