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[ID: 3305] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:48] [Catégorie(s): Morphisme de groupe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 1531
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 15:48

On a \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} (\mathbb{R},+) & \longrightarrow & (\mathbb{C}^*,\times) \\ x & \longmapsto & e^{ix} \end{array} \right.\). Vérifions que \(f\) est un morphisme de groupe. Soit \(x,y \in \mathbb{R}\), alors \[f(x+y) = e^{i(x+y)}=e^{ix}e^{iy}=f(x)\times f(y),\] et \[f(x^{-1})= e^{i(-x)} = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle e^{ix}}={f(x)}^{-1}.\] Donc \(f\) est un morphisme de groupe.

Montrons que \(f\) n’est pas injective en prouvant que le noyau n’est pas réduit à \(0\) : \[{\rm Ker}\,f = \left\{ x\in\mathbb{R}~|~ f(x)=1 \right\} = \left\{ x\in\mathbb{R}~|~ e^{ix}=1 \right\} = \left\{ 2k\pi~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}=2\pi\mathbb{Z}.\]

Enfin \[\mathop{\rm Im}f = \left\{ e^{ix} ~|~ x\in\mathbb{R}\right\}=\mathbb U\] est l’ensemble des complexes de module \(1\), c’est-à-dire le cercle de centre \(0\) et de rayon \(1\).