Soit \(\left(G,\times\right)\) un groupe (noté multiplicativement). Pour \(a\in G\), soit \(\tau_a: \left\{ \begin{array}{ccl} G & \longrightarrow & G \\ x & \longmapsto & axa^{-1} \end{array} \right.\).

  1. Montrer que \(\tau_a\) est un endomorphisme du groupe \(\left(G,\times\right)\).

  2. Vérifier que \(\forall \left(a,b\right)\in G^2,\quad \tau_a \circ \tau_b = \tau_{ab}\).

  3. Montrer que \(\tau_a\) est bijective et déterminer son application réciproque.

  4. En déduire que \(\mathscr T=\left\{\tau_a ~|~ a\in G\right\}\) muni du produit de composition est un groupe.

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[ID: 3301] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:48] [Catégorie(s): Morphisme de groupe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1529
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 15:48

  1. Soient \(a,x,y\in G\), on a \(\tau_a(xy) = a(xy)a^{-1} = axa^{-1}aya^{-1} = \tau_a(x)\tau_a(y)\) ce qu’il fallait vérifier.

  2. Soient \(a,x,y\in G\), on a \(\tau_a \circ \tau_b(x) = abxb^{-1}a^{-1} = abx(ab)^{-1}=\tau_{ab}(x)\) puisque \((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\).

  3. On en déduit que \(\tau_a \circ \tau_{a^{-1}} = \tau_{a^{-1}} \circ \tau_a = \tau_e = Id_G\). Donc \(\tau_a\) est bijective et son application réciproque est \(\tau_{a^{-1}}\).

  4. On en déduit que \(\tau~: a\longmapsto\tau_a\) est un morphisme de \(G\) dans le groupe des automorphismes de \(G\). Son image, à savoir \(T\) est un sous-groupe du groupe des automorphismes de \(G\).

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Exercice 1529
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