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Morphisme : Il s’agit de démontrer que \(\forall x,y\in \mathbb{R}^*,\, f(x)f(y) = f(xy)\) soit \(x^ny^n = (xy)^n\).
Si \(n\) est impair, l’image est \(\mathbb{R}^*\) et le noyau est réduit à \(\{1\}\). Si \(n\) est pair, l’image est \(\mathbb{R}_+^*\) et le noyau est \(\{-1,1\}\).
Exercice 1528
Soient \(n\in\mathbb{N}^*\) et \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^* & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & x^n \end{array} \right.\). Montrer que \(f\) est un endomorphisme du groupe \(\left(\mathbb{R}^*,\times\right)\). Déterminer son image et son noyau.
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[ID: 3299] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:48] [Catégorie(s): Morphisme de groupe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 1528
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 15:48
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 15:48
Endo : Il s’agit de démontrer que \(\forall x\in \mathbb{R}^*,\, f(x) \in \mathbb{R}^*\).
Morphisme : Il s’agit de démontrer que \(\forall x,y\in \mathbb{R}^*,\, f(x)f(y) = f(xy)\) soit \(x^ny^n = (xy)^n\).
Si \(n\) est impair, l’image est \(\mathbb{R}^*\) et le noyau est réduit à \(\{1\}\). Si \(n\) est pair, l’image est \(\mathbb{R}_+^*\) et le noyau est \(\{-1,1\}\).
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