Les questions sont indépendantes. Soit \(j\) le nombre complexe \(e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 3}}\).

  1. Déterminer le sous-groupe du groupe additif \(\mathbb{C}\) engendré par \(i\) et \(j\).

  2. Déterminer le sous-groupe du groupe multiplicatif \(\mathbb{C}^{\ast}\) engendré par \(i\) et \(j\).


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[ID: 3295] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:44] [Catégorie(s): Sous-groupes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1526
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 15:44
  1. C’est le groupe \(\left\lbrace ni+mj \mid (n,m)\in\mathbb Z^2 \right\rbrace\). En effet, si un sous-goupe de \((\mathbb{C},+)\) contient \(i\), alors il contient tous les \(ni=\underbrace{i+\ldots+i}_{n\textrm{ fois.}},\,n\in\mathbb{N}\) ainsi que leurs opposés (symétriques pour \(+\).) Il contient donc tous les \(ni,\,n\in\mathbb{Z}\). De même, il contient les \(mj,\,m\in\mathbb{Z}\). Il contient aussi toutes les sommes de ces éléments, c’est-à-dire tous les \(\left\lbrace ni+mj \mid (n,m)\in\mathbb Z^2 \right\rbrace\). Comme cet ensemble est lui-même un sous-groupe de \((\mathbb{C},+)\), c’est le plus petit sous-groupe de \((\mathbb{C},+)\) contenant \(i\) et \(j\), à savoir le groupe engendré par \(i\) et \(j\).

  2. C’est le groupe \(\mathbb U_{12}\) des racines douzièmes de l’unité. En effet, comme précédemment, c’est le groupe \(G = \left\lbrace i^nj^m \mid (n,m)\in\mathbb Z^2 \right\rbrace\). En posant \(\zeta_{12} = e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 12}}\), on a \(i = \zeta_{12}^3\) et \(j = \zeta_{12}^4\). Donc \(\zeta_{12} = ji^{-1}\in G\). Donc \(\mathbb U_{12}\), le sous-groupe engendré par \(\zeta_{12}\) est inclus dans \(G\). Inversement, comme \(i\in\mathbb U_{12}\) et \(j\in\mathbb U_{12}\), le sous-groupe engendré par \(i\) et \(j\) est inclus dans \(\zeta_{12}\).


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