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De même, \((st)^ns.(st)^m = t(st)^{n-m}\) pour \(n< m\) et \((st)^{m-n}s\) pour \(n\geqslant m\). On en déduit que \((st)^ns.(st)^ms = t(st)^{n-m}s\) pour \(n< m\) et \((st)^{m-n}\) pour \(n\geqslant m\), puis \(t(st)^ns.(st)^m = (st)^{n-m}\) pour \(n< m\) et \(t(st)^{m-n}s\) pour \(n\geqslant m\). Les autres cas sont rapidement vérifiés.
Pour les inverses, \((st)^n.s\) et \(t.(st)^n\) sont leurs propres inverses. D’autre part \((st)^n\left( t.(st)^{n-1}.s \right)\) pour \(n\geqslant 1\) montre que l’inverse de \((st)^n\) est \(t.(st)^{n-1}.s\). On en déduit que l’inverse de \(t.(st)^n.s\) est \((st)^{n+1}\). \(\Gamma\) est donc un sous-groupe du groupe \(G\).
Exercice 1521
Soit un groupe \((G, .)\) non commutatif d’élément neutre \(e\). On suppose qu’il existe deux éléments \((s, t) \in G^2\) vérifiant \(s^2 = t^2 = e\). On note \[\Gamma = \left\{ (st)^n~;~t.(st)^n~;~(st)^n.s~;~t.(st)^n.s~|~ n \in \mathbb N\right\}\] Montrer que \(\Gamma\) est un sous-groupe du groupe \(G\).
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[ID: 3285] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:42] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 1521
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
\(\Gamma\) est non vide. Démontrons qu’il est stable. Il y a \(16\) cas à vérifier. Par exemple il s’agit de démontrer - par récurrence sur \(m\) - que \((st)^n.t(st)^m = (st)^{n-m}s\) pour \(n< m\) et \(t(st)^{m-n}\) pour \(n\geqslant m\). On en déduit que \((st)^n.t(st)^ms = (st)^{n-m}s.s = (st)^{n-m}\) pour \(n< m\) et \(t(st)^{m-n}s\) pour \(n\geqslant m\), puis que \(t(st)^n.t(st)^ms = t(st)^{n-m}\) pour \(n< m\) et \(t.t(st)^{m-n}s = (st)^{m-n}s\) pour \(n\geqslant m\).
De même, \((st)^ns.(st)^m = t(st)^{n-m}\) pour \(n< m\) et \((st)^{m-n}s\) pour \(n\geqslant m\). On en déduit que \((st)^ns.(st)^ms = t(st)^{n-m}s\) pour \(n< m\) et \((st)^{m-n}\) pour \(n\geqslant m\), puis \(t(st)^ns.(st)^m = (st)^{n-m}\) pour \(n< m\) et \(t(st)^{m-n}s\) pour \(n\geqslant m\). Les autres cas sont rapidement vérifiés.
Pour les inverses, \((st)^n.s\) et \(t.(st)^n\) sont leurs propres inverses. D’autre part \((st)^n\left( t.(st)^{n-1}.s \right)\) pour \(n\geqslant 1\) montre que l’inverse de \((st)^n\) est \(t.(st)^{n-1}.s\). On en déduit que l’inverse de \(t.(st)^n.s\) est \((st)^{n+1}\). \(\Gamma\) est donc un sous-groupe du groupe \(G\).
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