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[ID: 3283] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:42] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]

Solution(s)

Solution(s)

Théorème de Lagrange
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42

1. Lorsque \(a\in H\), on montre que \(aH=H\).

2. Supposons qu’il existe \(\theta \in aH\cap bH\). Alors \(\exists(h,k)\in H^2\) tels que \(\theta = ah = bk\). Montrons que \(aH \subset bH\). Soit \(x\in aH\). Donc \(\exists l\in H\) tel que \(x=al\). Mais puisque \(a=bkh^{-1}\), il vient que \(x=bkh^{-1}l\) et puisque \(H\) est un sous-groupe de \(G\), et que \((k,h,l)\in H^3\), \(kh^{-1}l\in H\). Par conséquent, \(x\in bH\). On montre de la même façon que \(bH\subset aH\).

3. Considérons tous les ensembles \(aH\) lorsque \(a\) parcourt \(G\). Deux tels ensembles sont disjoints ou confondus. On a donc un nombre fini de tels ensembles disjoints tels que l’union de ces ensembles soit égale à \(G\): en effet, si \(a\in G\), alors \(a=ae\in aH\).

   Puisque l’application \(\varphi:\left\{ \begin{array}{ccl} H & \longrightarrow & aH \\ x & \longmapsto & ax \end{array} \right.\) est bijective, \(\left| aH \right| = \left| H \right|\) et donc toutes les classes ont le même cardinal \(p\).

   En notant \(q\) le nombre de \(aH\) distincts, d’après le lemme des bergers (corollaire [lemme_des_bergers] p. [lemme_des_bergers]), il vient que \[n = pq \Rightarrow p \textrm{ divise } n\]