Soit un groupe \((G,.)\) et deux sous-groupes \(H\), \(K\) du groupe \(G\).
On note \[HK=\left\{ x\in G \mid \exists h\in H:\, \exists k\in K:\, x=hk\right\}\]

  1. Soit \(x\in G\). Montrer que \[x\in HK \Longleftrightarrow x^{-1} \in KH\]

  2. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
    (i) \(HK\) est un sous-groupe de \(G\).
    (ii) \(KH\) est un sous-groupe de \(G\).
    (iii) \(HK=KH\).

Il faut bien comprendre la signification des notations. Par exemple, \(HK=KH\) ne revient pas à dire que \(\forall (h,k)\in H\times K\), \(hk=kh\)!

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[ID: 3281] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:42] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]




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Exercice 1519
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42

  1. Soit un élément \(x\in HK\), il existe deux éléments \((h,k)\in H\times K\) tels que \(x=hk\). Alors \(x^{-1}=k^{-1}h^{-1} \in KH\). Si \(x^{-1}\in KH\), alors il existe \((k,h)\in K\times H\) tels que \(x^{-1}=kh\) et donc \(x=(x^{-1})^{-1}=h^{-1}k^{-1} \in HK\) (car \(H\) et \(K\) sont des sous-groupes et donc si \(h\in H\), on a aussi \(h^{-1}\in H\)).

    1. \((i)\Rightarrow (ii)\) : Montrons que \(KH\) est un sous-groupe. Si \(e\) désigne l’élément neutre de \(G\), alors puisque \(e\in K\) et \(e\in H\) (sous-groupes), par définition, \(e=ee\in KH\). Soit \((x,y)\in (KH)^{2}\). Montrons que \(xy^{-1}\in KH\). D’après 1), il suffit de montrer que \((xy^{-1})^{-1} \in HK\). Or \((xy^{-1})^{-1}=yx^{-1}\) et puisque \(y\in KH\), \(y^{-1}\in HK\) et \(x^{-1}\in HK\). Mais puisque \(HK\) est un groupe, \(y=(y^{-1})^{-1}\in HK\) et aussi \(yx^{-1}\in HK\).

    2. \((ii)\Rightarrow (i)\) se démontre de même. (A faire !).

    3. Montrons que \((ii)\Rightarrow (iii)\). Montrons que \(HK \subset KH\): Soit \(x\in HK\). \(\exists (h,k)\in H\times K\) tel que \(x=hk\). Mais puisque \(KH\) est un sous-groupe et qu’on a \((ii)\Rightarrow (i)\), on sait aussi que \(HK\) est un sous-groupe. Par conséquent, \(x^{-1}\in HK\): \(\exists (h',k')\in H\times K\) tels que \(x^{-1}=h'k'\). Alors \(x=(k')^{-1}(h')^{-1} \in KH\). On démontre de la même façon que \(KH\subset HK\).

    4. \((iii)\Rightarrow (i)\) : On a bien \(e=ee\in HK\). Soit \(x\in HK\). D’après 1), \(x^{-1}\in KH\) et puisque \(KH=HK\), il vient que \(x^{-1}\in HK\). Soient \((x,y)\in (HK)^2\). Montrons que \(xy\in HK\). Comme \(x\in HK\), il existe \((h,k)\in H\times K\) tels que \(x=hk\). De même, il existe \((h',k')\in H\times K\) tels que \(y=h'k'\). Alors \(xy=h(kh')k'\). Mais comme \(kh'\in KH\) et que \(KH=HK\), il vient que \(kh'\in HK\). Donc il existe \((h'',k'')\in H\times K\) tels que \(kh'=h''k''\). Alors \(xy=hh''k''k\). Mais puisque \(H\) et \(K\) sont des sous-groupes, \(hh''\in H\) et \(k''k\in K\) et donc \(xy=hh''k''k\in HK\).

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