On considère un groupe commutatif \((G, .)\). On dit qu’un sous-groupe \(H\) est distingué lorsque \(\forall g \in G\), \(\forall h \in H\), \(g.h.g^{-1} \in H\). Soient deux sous-groupes \(G_1\) et \(G_2\) distingués de \(G\). Montrer que l’ensemble \(G_1G_2 = \left\{g_1.g_2~|~(g_1,g_2) \in G_1 \times G_2 \right\}\) est un sous-groupe distingué.

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[ID: 3279] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:42] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]




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Exercice 1518
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42

Soit \(g \in G,\, h \in G_1 G_2\). \(\exists (g_1,g_2) \in G_1 \times G_2, h = g_1g_2\) donc \(g.h.g^{-1} = g.g_1g_2.g^{-1} = \left( g.g_1g^{-1}\right) \left( gg_2.g^{-1}\right)\). Or \(G_1\) est distingués dans \(G\), donc \(g^\prime_1 = g.g_1g^{-1} \in G_1\). De même, comme \(G_2\) est distingués dans \(G\), donc \(g^\prime_2 = g.g_2g^{-1} \in G_2\). Donc \(g.h.g^{-1} = g^\prime_1g^\prime_2 \in G_1 G_2\), ce qu’il fallait vérifier.

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