Soit \((G,*)\) un groupe de cardinal fini et \(H\subset G\) une partie non-vide de \(G\) stable pour la loi \(*\). Montrer que \(H\) est un sous-groupe de \(G\).


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[ID: 3275] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:42] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]




Solution(s)

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Exercice 1516
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42

Comme \(H\) est non-vide, il existe \(a\in H\). Considérons alors la translation à gauche suivante : \[\gamma_a : \left\{ \begin{array}{ccl} H & \longrightarrow & H \\ x & \longmapsto & a.x \end{array} \right. .\] La fonction \(\gamma_a\) est à valeurs dans \(H\) car \(H\) est stable. On vérifie facilement que \(\gamma_a\) est injective (on peut simplifier à gauche dans un groupe). Or \(\gamma_a : H \to H\) va d’un ensemble fini vers lui-même. On sait alors qu’une telle application injective est également surjective.

Par conséquent, \(a\in H\) possède un antécédent par \(\gamma_a\) : il existe \(b \in H\) tel que \(\gamma_a(b) = a\) : \[a.b = a\] et alors on obtient que \(b = e\) et donc \(e \in H\).

Soit ensuite \(x \in H\). Comme \(\gamma_x : H \mapsto H\) est surjective, et que \(e\in H\), \(e\) possède un antécédent par \(\gamma_x\) : \[\exists y \in H ~: \gamma_x(y) = e \textrm{ donc } x.y = e.\] En multipliant à gauche par \(x^{-1}\) (symétrique de \(x\) dans \(G\)), on obtient que \(y = x^{-1}\). Comme \(y \in H\), \(x^{-1} \in H\).


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