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(i) \(\forall (x,y,z,t)\in E^4, (xy)(zt)=(xz)(ty)\)
(ii) \(\forall x \in E\), \(ex=x\)
(iii) \(\forall x \in E\), \(\exists x' \in E\): \(xx'=e\).
Montrer que \(*\) est commutative, associative, puis que \((E,*)\) est un groupe.
On prend \(z=e\). D’après (i), on a \((xy)(et)=(xe)(ty)\). Or \(et = t\) d’après (ii) et comme \(*\) est commutative, \(xe=ex=x\). Donc on a \((xy)t = x(ty) = x(yt)\) puisque \(*\) est commutative. La loi est donc associative.
D’après (ii), \(e\) est élément neutre à gauche, donc à droite puisque \(*\) est commutative. D’après (iii), tout élément admet un inverse à gauche, donc à droite puisque \(*\) est commutative. On a bien démontré que \((E,*)\) est un groupe (abélien).
Exercice 1515
Soit \((E,*)\) et \(e\in E\) tels que :
(i) \(\forall (x,y,z,t)\in E^4, (xy)(zt)=(xz)(ty)\)
(ii) \(\forall x \in E\), \(ex=x\)
(iii) \(\forall x \in E\), \(\exists x' \in E\): \(xx'=e\).
Montrer que \(*\) est commutative, associative, puis que \((E,*)\) est un groupe.
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[ID: 3273] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:42] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 1515
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
On prend \(x=z=e\). D’après (i), on a \((ey)(et)=(ee)(ty)\). D’après (ii) \(ey=y,\,et=t\) et \(ee = e\). Donc \(yt = e(ty) = ty\). La loi est donc commutative.
On prend \(z=e\). D’après (i), on a \((xy)(et)=(xe)(ty)\). Or \(et = t\) d’après (ii) et comme \(*\) est commutative, \(xe=ex=x\). Donc on a \((xy)t = x(ty) = x(yt)\) puisque \(*\) est commutative. La loi est donc associative.
D’après (ii), \(e\) est élément neutre à gauche, donc à droite puisque \(*\) est commutative. D’après (iii), tout élément admet un inverse à gauche, donc à droite puisque \(*\) est commutative. On a bien démontré que \((E,*)\) est un groupe (abélien).
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