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[ID: 3271] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:42] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]

Solution(s)

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Exercice 1514
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42

On va faire travailler les groupes : On considère \(G\) l’ensemble des fonctions de \(E\) vers le groupe \(\left( \{-1,1\},.\right)\). Muni de la multiplication des fonctions \(G\) est un groupe abélien. Maintenant, on considère \[f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathcal{P}(E) & \longrightarrow & G \\ A & \longmapsto & \chi_A \end{array} \right. \qquad \textrm{ avec } \quad \chi_A: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & \{-1,1\} \\ x & \longmapsto & \left\lbrace \begin{array}{rl} -1 & \textrm{si } x\in A \\ 1 & \textrm{si } x\notin A \end{array} \right. \end{array} \right. , \textrm{ si } A\in \mathcal{P}(E) .\] On vérifie que \(f^{-1}(f(A) . f(B)) = A\triangle B\). D’après l’exercice précédent, \((\mathcal{P}(E),\triangle)\) est un groupe.