Soit \((G, .)\) un groupe abélien et \(S\subset G\) une partie de \(G\) non-vide et stable. On définit \[S^{\star} = \{ x.y^{-1}~|~ (x, y) \in S^2 \}.\] Montrer que \(S^{\star}\) est un sous-groupe de \(G\).


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[ID: 3269] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:42] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]




Solution(s)

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Exercice 1513
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42
  • Comme \(S\neq \varnothing\), il existe \(a\in S\). Alors \(a.a^{-1} = e \in A^{\star}\).

  • Soit \((a, b)\in \left(S^{\star}\right)^2\). Alors il existe \((x, y) \in S^2\) tels que \(a = x.y^{-1}\) et il existe \((x', y') \in S^2\) tels que \(b = x'.y'^{-1}\). Alors \[a.b^{-1} = x.y^{-1}.y'.x'^{-1} = (x.y').(x'.y)^{-1}\] car la loi est commutative. Comme \(S\) est stable, \(x.y'\in S\) et \(x'.y \in S\), donc \(a.b^{-1} \in S^{\star}\).


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