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[ID: 3267] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]

Solution(s)

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Exercice 1512
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:42

1. On sait déjà que la loi de composition interne est associative ;

2. Élément neutre : Soit un élément \(a_1\in E\). En prenant \(b=a_1\), on sait qu’il existe \((e,f)\in E^2\) tels que \(a_1=a_1\star e=f\star a_1\). Montrons que \(e\) est neutre. Soit \(b\in E\). Il existe \((x,y)\in E^2\) tel que \(b=a_1\star x =y\star a_1\). Alors \[b\star e=(y\star a_1)\star e = y\star(a_1\star e)=y\star a_1 = b\] \[f\star b = f\star (a_1\star x) = (f\star a_1)\star x = a_1\star x = b\] On a donc montré que \(\forall b\in E\), \(b\star e =b\) et \(f\star b = b\). En particulier, si \(b=f\), \(f\star e =f\) et si \(b=e\), \(f\star e=e\). On en déduit que \(e=f\) et donc que \(\forall x\in E\), \(e\star x = x\star e=x\): \(e\) est l’élément neutre pour \(\star\).

3. Soit un élément \(X\in E\). Montrons que cet élément admet un symétrique : En prenant \(b=e\) et \(a=X\), il existe \((x,y)\in E^2\) tels que \(e=X\star x = y\star X\). Il suffit de montrer que \(x=y\). Écrivons \[y=y\star e = y\star(X\star x) = (y\star X)\star x = e\star x = x\] Donc \(x=y\) est le symétrique de \(X\).