Barre utilisateur

[ID: 3265] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]

Solution(s)

Solution(s)

Exercice 1511
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41

La loi \(\star\) est interne. Elle est associative : \((x \star y)\star z = f^{-1}(f(x) . f(y))\star z = f^{-1}\left( f\left( f^{-1}(f(x) . f(y))\right) . f(z)\right) = f^{-1}\left( (f(x).f(y)).f(z) \right) = f^{-1}\left( f(x).(f(y).f(z)) \right) = \ldots = x \star (y\star z)\). Si on appelle \(e\) l’élément neutre de \((G, .)\), \(\varepsilon = f^{-1}(e)\) est élément neutre de \(E\). Soit \(x\in E\), on pose \(y= f^{-1}(f(x)^{-1})\). On a \(f(y) = f(x)^{-1}\) donc \(f(x).f(y) = f(y).f(x) = e\) et donc \(x \star y = f^{-1}(f(x) . f(y)) = f^{-1}(e) = \varepsilon\) et de même \(f(y).f(x) = \varepsilon\). Donc \(y\) est l’inverse de \(x\) pour \(\star\).

Par ailleurs, \(f(x \star y) = f\left( f^{-1}(f(x) . f(y))\right) = f(x) . f(y)\). C’est bien dire que \(f\) est un morphisme de groupes. Comme \(f\) est une biection, c’est un isomorphisme.

Cet exercice a déjà été vu dans des cas particuliers. Voir les exercices [ex19_01], [ex19_02] et [ex19_06], pp. [ex19_01], [ex19_02] et [ex19_06] pour \(f(x) = e^x, x+1\) et \(\operatorname{th} (x)\).