Si \((a, b) \in \mathbb{R}^*\times \mathbb{R}\), on note \[t_{a,b} : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & ax+b \end{array} \right.\] Soit \[G = \{ t_{a, b}~|~ (a, b) \in \mathbb{R}^*\times \mathbb{R} \}\]

  1. Montrer que \((G, \circ)\) est un groupe.

  2. Soit \[H = \{ t_{1, b}~|~ b \in \mathbb{R} \}\] Montrer que \(H\) est un sous-groupe de \(G\), isomorphe au groupe \((\mathbb{R} , +)\).

Barre utilisateur

[ID: 3263] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 1510
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41

  1. Comme \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits=t_{1,0}\), \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\in G\). La composée de deux fonctions affines bijective est affine et bijective. Plus précisément, \(t_{a,b}\circ t_{a',b'} = t_{aa',ab'+b}\). Bref, la loi est interne. La bijection réciproque d’une fonction affine est affine. On a donc un sous-groupe du groupe des bijections de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).

  2. On vérifie que \(b \mapsto t_{1, b}\) est un isomorphisme de \((\mathbb{R} , +)\) sur \((H,\circ)\).

Documents à télécharger

Exercice 1510
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice