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[ID: 3261] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]

Solution(s)

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Exercice 1509
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41

• \(e \in B\) : posons \(n = 1\), on a bien \(e^n = e\).

• Soit \((x, y) \in B^2\). Montrons que \(xy \in B\). Comme \(x\in B\), il existe \(n_1 \in \mathbb N\) tel que \(x^{n_1} = e\). De même, il existe \(n_2\in \mathbb N\) tel que \(y^{n_2}=e\). Posons \(n = n_1 n_2\). Alors \[(xy)^n = (x^{n_1})^{n_2}(y^{n_2})^{n_1} = e.e = e\] (car \(xy = yx\)). Donc \(xy \in B\).

• Soit \(x \in B\). Vérifions que \(x^{-1} \in B\). Comme \(x\in B\), il existe \(n\in \mathbb N\) tel que \(x^n = e\). Alors on vérifie que \((x^{-1})^{n}= (x^n)^{-1} = e^{-1} = e\). Donc \(x^{-1} \in B\).