Soit \((G, .)\) un groupe commutatif d’élément neutre \(e\). Soit \(n\in \mathbb N\). On pose \[B = \{ a \in G~|~ a^n = e \}\] Montrer que \(B\) est un sous-groupe de \(G\).

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[ID: 3259] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]




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Exercice 1508
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41

On a \(e\in B\) donc \(B\) n’est pas vide. Si \(a\) et \(b\) appartiennent à \(B\), \(a^n = b^n = e\). Or \(G\) est commutatif, donc \((ab)^n = a^nb^n = e\) et \(ab\in B\). Enfin \(\left( a^{-1} \right)^n = \left( a^n \right)^{-1} = e^{-1} = e\), donc \(a^{-1} \in B\).

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Exercice 1508
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