Soit \(E=\left\{ f\in {\cal F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} )~|~ \forall n\in \mathbb{Z} , f(n)=0\right\}\). On munit \(E\) de la loi \(+\) d’addition des fonctions d’une variable réelle. Montrer que \((E,+)\) est un groupe.

Barre utilisateur

[ID: 3255] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 1506
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41

Soit \(G= {\cal F}(\mathbb{Z} ,\mathbb{R} )\), et \(F= {\cal F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} )\) On munit \(F\) et \(G\) de la loi \(+\) d’addition des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{Z}\) dans \(\mathbb{R}\) respectivement. Pour démontrer que \(E\) est un sous-groupe de \(F\), on considère \(\Phi~: F\longrightarrow G\) qui à \(f\) associe la restriction de \(f\) à \(\mathbb{Z}\). \(\Phi\) est un morphisme de groupes (abéliens) et \(E\) est son noyau. Comme tel c’est un sous-groupe de \(F\) donc un groupe. Bien entendu une vérification directe est simple à rédiger.

Documents à télécharger

Exercice 1506
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice