Montrer qu’un groupe \((G, .)\) tel que \(\forall x\in G\), \(x^{2}=e\) est commutatif.


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[ID: 3251] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]




Solution(s)

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Exercice 1504
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41

L’hypothèse de l’énoncé dit que tout élément est son propre symétrique : \[\forall x\in G, \quad x^{-1}=x.\] Soit alors \((x,y)\in G^2\). Comme \((xy)^{-1}=(xy)\), on en déduit que \(y^{-1}x^{-1}=xy\). Mais puisque \(x^{-1}=x\) et \(y^{-1}=y\), on trouve que \(yx=xy\).
Autre rédaction : Soit \((x,y)\in G^2\). Puisque \((xy)^2=e\), il vient que \[xyxy=e \Rightarrow x(xyxy)y=xy \Rightarrow (x^2)(yx)(y^2)=xy \Rightarrow yx=xy.\]


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