Soient \((G, \star)\) et \((H, \triangle)\) deux groupes. On définit sur \(G \times H\) la loi \(\heartsuit\) par \((x, y) \heartsuit (x', y') = (x \star x', y \triangle y')\).

  1. Montrer que \((G \times H, \heartsuit)\) est un groupe.

  2. Si \(G\) est de cardinal 2, dresser la table de \(G \times G\) et la reconnaı̂tre parmi les exemples des exercices précédents.

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[ID: 3249] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]




Solution(s)

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Exercice 1503
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41

  1. C’est un groupe produit, c’est du cours ! Voir proposition [groupe_produit] p. [groupe_produit].

  2.  
    Soit \(G = \{1,-1\}\) le groupe a deux éléments (pour la multiplication). On pose \(e=(1,1);\; a= (1,-1);\; b = (-1,1);\;c = (-1,-1)\). L’élément neutre pour \(\heartsuit\) est \(e\) puisqu’il est composé deux fois de l’élément neutre de \((G,\times)\). On a \(x^2 = e\) pour tout \(x\), ce qui remplit la diagonale. La deuxième ligne (celle de \(e\)) est identique à la première (celle de \(\heartsuit\)) puisque \(e\) est l’élément neutre. Il s’agit du groupe de l’exercice [groupe_de_klein]. On a \(ab = c\), puis \(ac = a(ab) = (aa)b = b\) et enfin \(bc = (ac)c = a\). On complète par symétrie puisque la loi \(\heartsuit\) est commutative. Ces deux groupes sont isomorphes.

    \(\heartsuit\) \(e\) \(a\) \(b\) \(c\)
    \(e\) \(e\) \(a\) \(b\) \(c\)
    \(a\) \(a\) \(e\) \(c\) \(b\)
    \(b\) \(b\) \(c\) \(e\) \(a\)
    \(c\) \(c\) \(b\) \(a\) \(e\)

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Exercice 1503
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