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Groupe de Klein
Soient les quatre fonctions de \(\mathbb{R}^*\) dans \(\mathbb{R}^*\) \[f_1 (x) = x \qquad f_2 (x) = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \qquad f_3 (x) = -x \qquad f_4 (x) = -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\] Montrer que \(G = \left\{ f_1, f_2, f_3, f_4\right\}\) est un groupe pour la loi \(\circ\).
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[ID: 3243] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]Solution(s)
Solution(s)
Groupe de Klein
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Il suffit de démontrer que \(G\) est un sous-groupe du groupe des bijections de \(\mathbb{R}^*\) dans \(\mathbb{R}^*\). \(f_2\circ f_2 = f_1;\;f_2\circ f_3 = f_4;\;f_2\circ f_4 = f_3;\;f_3\circ f_3 = f_1;\;f_3\circ f_4 = f_2\). On a donc la stabilité, et tous les éléments sont leur propre inverse.
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